2007年12月17日星期一

微積分備份

{極限與連續}


題型1:極限的嚴格證明(依定義)- 一次方或負次方用倒證法 既非一次方亦非負次方請愛用先聲奪人法 PS此定義適用在函數連續的証明表示 唯獨函數連續的自變數範圍包含0(故通常不寫)
詳細內容:
(1)方法:極限的嚴格證明:走定義 一次方或負次方,使用倒證法;其他次方則使用先聲奪人法.
(2)補充:先聲奪人時 取δ=min{1,1/n ε} 求出n
令拉弓長度小於1(δ<1) 並小於n分之ㄧ倍的打靶誤差 (δ<1/n ε)
(3)極限的嚴格定義: 對於所有的打靶誤差 (ε>0) 存在其所對應之拉弓長度 (δ>0)
使得當x趨近於a時 (0<|x- a|<δ)
打靶結果f(x)會趨近於L 恆成立 (0<|f(x)- L|<ε)
←→f(x)取極限會趨近於L(若且唯若)

題型2:夾擠定理(三明治定理)-給定的正項級數當中的每一項,必大於其最小項ˋ小於其最大項,然後相加總可得給定函數的範圍,可供夾擠 [口訣]老大老三皆如此,老二必然也如此[口訣]極限問題若遇障礙必用夾擠!(極限的殺手鐧定理) PS:對照題型27

題型3:無窮極限(變數趨近於無限大)的速解法-- 相除型比較最大項係數 根式相減型比較次大項

題型4:三角極限的速算法--熟記陳立的本尊VS.分身代換法 分為大小角度 適用在填充題與輔助解題過程

題型5:高斯(狗屎)型極限- 中小型狗屎極限用代數字法 超大型狗屎極限請愛用陳立之本尊VS.分身代換法 非以上兩者則使用高斯函數之性質解之

題型6:多變數函數的極限- 取不同路徑(非齊次)ˋ極座標轉換(齊次函數)ˋ夾擠定理(或速算法)

題型7:含絕對值之極限-- 直接帶入有解就是答案, 無解(或無意義)則利用左右極限逼近之 若左右極限相等則極限值存在

題型8:中間值定理(I.V.T.)--即牛頓的堪根定理 函數值異號表示區間內有一實根 應用在不動點(固定點)定理的証明ˋ函數之間交點的証明 [步驟] 1.令函數相減H(X)=f(x)-g(x) 此即雙效合一法
2.再配合I.V.T. n個交點就作n次I.V.T. 即可証出H(X)=f(x)-g(x)=0 移項:f(x)=g(x) 則函數交會!
[I.V.T.口訣]一正一負必有根 根者有其零

題型9:漸進線-- [垂直漸進線]:當函數存在不連續時(如分母=0) 或(無窮)極限趨近於正負無限大! [水平漸進線]當x趨近於正負無限大而y趨近於一定值時(y=定值即為所求)或無窮極限分母次方數大於等於分子次方數(大於時趨近於0ˋ等於時比較最大項係數)時有之 [斜漸進線]當函數分子比分母恰恰大一次方時有之(此時帶公式[口訣]取無窮極限 先斜再截 先除後減) (斜截式:y=mx+k)

題型10:連續函數- 函數連續有3要件 需同時符合 1)函數在x=a時有定義 2)極限值存在 3)函數值=極限值


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{微分}


題型11:函數的可微性- 函數若可微同時符合 1)連續[口訣]左極限等於右極限 2)[口訣]左導數=右導數 PS:嚴格說起來 還要函數值=極限值

題型12:微分的原始定義-[口訣]微分就是...退化後的...前進分之上升! 原始幾何公式有時用在計算; 而原始計算公式除了計算孤立點的微分有時也輔助證明題

題型13:分段點的極限與可微性(連續)-- [極限口訣] :左極限=右極限 則極限存在 (或分段點連續)(連續不一定可微) [連續口訣]:左導數=右導數 則一階導數存在 而函數可微(可微則一定連續) PS:分斷點的函數範圍通常包含等號 但函數微分後的導數範圍 記得去掉等號!

題型14孤立點的連續與微分- [ 連續口訣]:求函數值=求極限值 [微分方法]求一階導數值 熟記微分的原始計算定義 (台大最愛考!)

題型15:微分的連鎖律(Chain Rule)-- [洋蔥型(合成函數基本型)口訣]先微外面(裡面照抄),再微裡面(然後相乘);由外而內,抽絲剝繭 [一條龍型(相乘型)口訣]上下照抄,中間相消 [分岔龍型(相除型)口訣]上下照抄,他媽的(分母)相消

題型16:多變數函數(隱函數)的微分-- 包括求偏導數(partial derivative)ˋ隱函數定理(特別是求過一曲線的切線斜率)的使用 注意! 一階隱函數用隱函數定理較快(包括求切線方程式),但二階隱函數絕對不行連續使用隱函數定理兩次!!Why? (隱含數定理壓根兒沒有推廣到n次) 二階隱函數微分之四重奏(也適用於一階隱函數,一階只有三重奏) [一部曲]將y視為x的可微函數 [二部曲]將等號兩邊分別對x作微分(即x微掉 遇微y時 寫成y' 得到的y'先留著等一下代入第三部曲) [三部曲]同樣的方法將步驟二得到的方程式再微一次,x微掉,遇到y的微分=y' 而y'的微分=y'' [四部曲]移項整理 y''即為所求

題型17--反函數的微分--反函數微分之雙刀直入法 :[第一把倚天劍] 原函數與其反函數作用,其屬性會相互抵銷 即:f(arc f(x))=x [第二把屠龍刀] 反函數的微分=原函數對其反函數微分之後再取倒數 即: d/dx arc f(x)=1/f'(arcf(x)) PS:遇多項式之反函數微分,必使用雙刀法之第一把菜刀配合試誤法(Try and Error)先偷算反函數值! PPS:[反函數之反求諸己法](自創): 要刮別人的鬍子之前,先把自己的刮乾淨! 要求原函數對反函數微分,原函數必先自己對自變數微分,然後根據啞變元原理,將結果的自變數用反函數代換,最後再根據第二把菜刀取倒數得解! PPPS: 若配合微積分第一定理出題來考,則除了使用反求諸己法外,常還須由反函數之性質算出反函數值. 例如: f(a)=b 代表arc f(b)=a

題型18:疊羅漢型極限與微分- [疊羅漢型極限] 利用自然指對數互為反函數的性質解之 或代e(自然常數的極限形式)公式 [疊羅漢型微分] 當底數與次方項均存在變數時使用之 (亦利用自然指對數互為反函數性質解之) [王不見王口訣] 拜恰拜恰,先請陳立(e)ˋ再請劉德華(ln)出場,最後由死對頭劉德華表演跳樓~

題型19:指對數函數的微分-- [指數函數微分]等於函數本身乘以底數取ln再乘以次方項的微分 [口訣]上微,下對,抄一遍 [對數函數微分]先換底成自然對數的形式後,再利用真數的導數除以真數解之

題型20:根之導數與特殊型微分:一連串高階或低階相乘除之微分. [根之導數]根據微分的原始幾何公式而來 求解時直接先約掉罪魁,再把禍首帶入即得導數 [特殊型微分]分子分母一連串高次方相乘求微分時 函數抄一遍 分子次方跳樓 分母次方跳樓加負號 而分子分母中底數的函數則變成微分除以函數本身!

題型21:三角反函數ˋ雙曲線三角反函數的微積分:: (1)d/dx arc sinx=1/√1-x2 ;∫1/√1-x2 = arc sinx +C (2)d/dx arc tanx= 1/1+x2 ; ∫1/1+ x2 =arc tanx +C (3)d/dx arc sinhx= 1/√x2+1 ; ∫1/√x2+1 =arc sinhx +C =㏑(x+ √x2+1 +C) (4)d/dx arc coshx= 1/ √x2-1 ; ∫ 1/√ x2-1 =arc coshx +C =㏑(x+√x2-1 +C) PS:雙曲線反三角函數相關積分題目可以不用真的去積 直接走雙曲線反三角函數的對數定義即可~

題型22:萊布尼茲(Leibnitz)定理--求兩個函數相乘的高階微分 : [f(x)g(x)]'''''''微n次 =Σ(k=0~n)C(n取k)乘 f(x)(微n減k次)乘g(x)(微k次) PS:係數即為巴斯卡三角形 PPS:條件:將耐微性高的函數排在前面當作f(x) 否則答案永遠為零! PPPS:耐微性排行榜-- 陳立(指數函數)(保久材)>多項式(消耗材)>劉德華( ㏑)(對數函數)(腐朽材)


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{微分定理與微分應用}


題型23:洛爾定理:[口訣]兩個函數值相等,斜率至少一點零;或 函數有兩根,斜率至少一點零 PS:可推廣至n個根(或函數值相等)相等

題型24:均值定理(M.V.T.): [口訣] 某一點的切線斜率=整體的變化率

題型25:單一變數函數之相對極值與絕對極值: [絕對極值] 就是相對極值與給定左右的端點去比大小 [相對極值] 1)一階檢定法:作表格--由上而下分別是 主角(x) 原因(y') 結果(y) 利用函數的增減性解之 2)二階檢定法: [口訣]二階導數大於零有極小,小於零有極大 當然是指相對極值而言 PS:[主角(x)]=臨界值 發生在一階導函數=0或不存在 [原因(y')]=一階導數之正(+)負(-) [結果(y)]函數是嚴格遞增或遞減(以箭頭表示) PPS:反曲點則發生在二階導函數不存在或二階導數=0且三階導函數不為0處

題型26:切線與法線-- 切點提供兩方程式[口訣] 1)切點必過原曲線 2)切點微分變斜率


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{積分}


題型27:黎曼和與定積分--即無窮極限型(掛羊頭)積分(賣狗肉) [陳立獨創口訣]殺千刀(無窮極限),每刀寬度1/n(逢k必除以n),這種死膏罵(Σf(n/k),其中k=1~n),代表從0積到1. PS:遇到無窮極限裡面是級數相加總,必優先考慮黎曼和,極限裡面是級數而作不出來的題目,最後才是考慮夾擠定理(極限的殺手鐧定理) PPS:簡言之,看到:殺千刀,每刀寬度1/n,這種死膏罵,想到:從0積到1

題型28:聽媽媽的話型之死膏罵(Σ)無窮極限:即黎曼和之應用,先提出1/n(創造每刀寬度),再帶無窮極限型積分公式(即題型27) [速解]死膏罵之無窮極限,若分母次方恰比分子次方大一次方,其值為分母次方分之1 (PS: 若分母自方比分子大兩次方以上則=0, 若分子次方較分母次方大時,其值∞)

題型29:分段定積分: [型一]被積函數存在分斷點(即函數有大於或小於符號出現時)--將定積分依分斷點拆開積分,不同區間有不同的被積函數(題目給定) [型二]被積函數是絕對值(其圖形為折線)--以根者有其零處當做分斷點拆開作定積分(分斷點之左邊,被積函數去絕對值加負號,右邊被積函數直接去絕對值) [型三]被積函數是狗屎(高斯)函數--[步驟一]以整數為分斷點,一項一項拆開作定積分[步驟二]將拆開來的各項定積分下界相加總即為所求 (高斯函數定義:[x]=不大於x之最大整數(圖形左實點右虛點),例如定積分∫ [ x ]dx, 從下界2積到上界3,其值為∫ 2dx,從2積到3,答案就是2(3-2)=2 ) PS: 至於定積分遇到被積函數出現孤立點(不等號)時,不會影響定積分的結果(因為點的面積=0)

題型30:積分的西瓜守則[西瓜偎大邊]: [動機] 積分沒有除ˋ乘法則,所以遇到一些複雜的(如:被積函數是變數除以一個多項式ˋ變數乘一個根式多項式ˋ變數乘一個高次多項式)積分,勢必利用一些技巧,拆掉某些外表是乘積形式之積分的面具,再利用分配律展開,最後使用積分冪法則(微分是跳樓拍賣少一塊,積分是次方加一後爬樓再除次方加一) 而西瓜守則內容分為三級:1)最高原則--看分母偎(以分母為展開中心) 2)中等原則--看根號偎(以根號為展開中心) 3)初等原則--看次方偎(以較高的次方為展開中心)

題型31:積分的連鎖律(Chain rule)(積分之鑰)-- 因為d/dx f(x)=f'(x) 移項 f'(x)dx=df(x)

題型32:積分的劉德華法則®--[陳立口訣]分母微分變分子,積分後媽媽(分母)要嫁給劉德華(ln) (亦即,積分後=ln∣分母∣))

題型33:分部積分--使用時機:通常兩個相乘的形式,且無法使用一般方法積出來之積分

[型一]標準型蒙面俠蘇洛之Z積分(咻咻兩聲,不用代分部公式!)--[口訣]左微,右積;加相乘,減積分

[型二]加強型蒙面俠蘇洛(咻咻)之Z積分--當蒙面俠蘇洛遇上坦克車(arc tanx)或劉德華(外號:劉一半,因為ln圖形只在y軸右邊,即x>0)(ln:自然對數函數)時,arc tanx與ln之Z積分,兩者必放在左邊(劉德華是左撇子;亦即分部積分時,他們通常設為u而不是dv的意思) PS:代傳統分部積分公式雖然可以,但很慢(你可積,慢!),而陳立(英文名字:麥克)自創之蒙面俠蘇洛之Z積分®很快(麥克積,快!)

[型三]Double型(咻咻~咻咻)蒙面俠蘇洛之Z積分:適用在陳立(e的x次方)與sinx相乘型 或陳立與cosx 相乘型的積分,[口訣] 左微,右積;加相成,減相乘,加積分 PS:因為sinx 與cosx 分部積來積去互為對方(此即迴旋積分),故此種函數積分必使用雙層型Z積分後,再將算出的結果與原式作移項的動作,才能算出答案! PS:陳立是右撇子,故此類型積分習慣上通常把陳立放右邊積(積來積去為自己),把三角函數放左邊微

[型四]斜線積分:適用在 1)多項式與三角函數相乘型積分 2)多項式與自然指數函數相乘型積分,此兩者亦為迴旋積分類型,此類型必把多項式放左邊,陳立與三角函數放右邊,一樣左微右積,右邊迴旋積不完,但左邊是多項式,微到0為止,取左上斜對角與右下相乘(正負相間)之加總,至最右下角一項為止.


[結論] 陳立(耐久材)與三角函數(迴旋函數)相乘,請愛用雙層Z積分,並移項解之

多項式(消耗材)與陳立(耐久材)相乘,請愛用斜線積分

多項式(消耗材)與三角函數(迴旋函數)相乘,請愛用斜線積分


題型34:分母是第一類有理函數(分母可因式分解或分母僅含有一次因式)的積分--所謂的有理函數,可分為三種:第一種是判別式>0(即這裡的第一類有理函數);第二ˋ三種有理函數分別是判別式=0與判別式<0(即題型36之第二類有理函數)者. x2 ="1/a">0,可因式分解成一次因式相乘積,此時使用頂鼎鼎大名之部份分式解之(遮住法(遮住罪魁因式,再把禍首的因式根帶入整項被積函數)可求分母拆項後之分子為何.) PS:部份分式之[真的快好厲害速解法]--分子是常數(先提出,使分子為1)的部份分式=(1/長度差) 再乘上(1/小 減1/大) PPS:若由遮住法無法求得之係數,則一律採用先設分母為零次項的常數(AˋBˋC...),再由通分後比較係數可得各項係數~ PPS:☆分母為完全平方項的積分,而無法利用西瓜守則時,勢必利用部份分式拆成兩項(一項是分母一次方(分子設為常數a),一項是分母兩次方(分子設為一次的ax+b),)再通分比較係數求得各項分子, 最後:第一項分子是a的積分=劉德華;第二項分子是ax+b的積分再拆成兩項--先湊劉德華,再開坦克車.

題型35:分母是第二類有理函數(分母無法因式分解或分母含有二次因式)的積分--1)分子=常數(帶腳踏車積分推廣公式前先提出常數,使分子=1), 分母先配方(製造完全平方項),再開坦克車(帶腳踏車積分等於坦克車之推廣公式: ∫1/a2+ x2 =1/a arc tanx/a +C ); 2)分子有變數, 先湊(揍)劉德華(欲使媽媽(分母)嫁給劉德華,必先算出分母微分等於多少?(因為分母微分等於分子,積分必得ln)此即積分的劉德華法則之應用)解決所有分子的變數項(使其=ln∣分母∣),再開坦克車(帶腳踏車積分等於坦克車之推廣公式: ∫1/a2+ x2 =1/a arc tanx/a +C )解決因為湊劉德華而多出來的分子常數項. 3)分母是一次因式與無法再分解的二次因式之乘積形式之第二類有理函數:比照部份分式法先拆成兩項,分母是一次項,其分子可用遮住法求得;另外分母是二次項,其分子要先設為一次項(即ax+b),再由通分後比較係數可求,最後分母是一次項的積分必得劉德華;分母是二次項,再把分子的ax+b拆成ax與b兩個分式,而分子含有ax(變數項)就是本題型之第二種:先湊劉德華;分子是常數b的分式,就是本題型之第一種,再開坦克車,由腳踏車積分等於坦克車之推廣公式解決之!

題型36:無理函數積分之三角代換法--[林易的口訣]看到被積函數裡面,有根號且根號內的變數是平方項,而非完全平方項(完全平方項可用西瓜偎大邊~),此時必想到用平方關係的三角代換法 [型一] 被積函數的根號內是1-x2 令x=sinθ [型二] 被積函數的根號內是1+ x2 令x=tanθ [型三]被積函數的根號內是 x2 -1 令x=sec θ 如此,便可去根號求積分,常伴隨積分chain ruleˋ兩倍角公式(降次)ˋ或結合題型37的三角常用積分公式 PS:最後記得要做還原的動作!

題型37:三角函數的積分--1) ∫Tan x dx=㏑ ∣ sec x ∣ +C ˋ∫cot x dx=㏑ ∣sin x ∣ +C ,用劉德華的積分法則可求.(用推的,不用背) 2) ∫sec x dx=㏑ ∣Tan x+ sec x ∣ +C (要背! 用推的很久!推過就要背起來,只因太常出現了) PS: ∫(sec x 乘tan x)=sec x +C ; ∫(csc x 乘 cot x)=csc x+C 3) ∫{secx三次方}dx=1/2 {sec x 乘tan x} + 1/2 {㏑ ∣Tan x+ sec x ∣ } +C [口訣] sec三方積分= 半微 , 半積 !

題型38:三角函數積分的半角代換法--

題型39:三角絕對值函數之定積分(96台大微C卷 填充題8分): 通常指 ∫ ∣sinx ∣dxˋ∫∣cosx ∣ dx 定積分,有速解法. [口訣] 一象限,一面積; 幾象限,幾面積 (如0~π, 共佔2象限,故面積=2; 又如0~2π,跨過4象限,故面積=4)

題型40:奇ˋ偶函數之定積分:[心得] 看到定積分,先檢查是否有罪魁,有則以禍首分段作瑕積分. 而看到定積分上下界差一負號,則必先檢查被積函數是奇函數還數偶函數.

[奇函數口訣] 奇生蛋 (上下界差一負號,則奇函數定積分=0 因為它以x=0(即y軸)作上下左右反對稱) [偶函數口訣] 積一半,再Double.(上下界差一負號,則偶函數定積分=積一半,再兩倍 因為它以x=0(即y軸)作對稱)

PS常見的奇函數有:sinxˋ多項式是奇數次方; 常見的偶函數有:cosxˋ多項式是偶次方ˋ常數ˋ絕對值函數 PPS: 運算法則-- 奇乘奇=偶; 奇乘偶=奇; 偶乘偶=偶; 奇加偶=非奇非偶 PPPS:上下界差一負號,但上下界之閉區間含瑕點時,奇生蛋法則失效! 偶一半法則可以用!

題型41☆:特殊的三角函數之定積分:[型一] [型二] [型三]

題型42:積分(平)均值定理: [Define] 若f(x)在[a,b]連續, 則存在c屬於(a,b), 使∫f(x) dx 從a積到b =(b-a)f(c) (=底乘高) [幾何意義] 曲線下方的面積=矩形的面積. [應用] 求函數(f(x))在給定區間([a,b])內的平均值(f(c))=?

題型43:微積分第一定理--[口訣] 先積再微=不積不微,頂多用到微分chain rule. 常結合四個親戚一起考: 1) 啞變元原理 2) 反函數微分--反函數之雙刀法(詳見題型17) 3) 隱函數微分--詳見題型16 4) 羅必達法則-- 微積分第一定理VS.羅畢達法則: 應用在有積分符號(無法直接徒手積出來)的極限運算 PS [羅畢達法則] 解極限不定型(分母幾次方就羅幾次! 當然 學了陳立本尊-分身法 就可以少羅幾次ㄛ )

題型44:微積分第二定理:定積分的值=先算出不定積分(反導函數),再把{上界的值b帶入反導函數}減去{下界的值a帶入反導函數} 必先符合兩條件(政大常考的解釋名詞):[口訣] 1) 被積函數f(x)在積分前在a~b之間連續 2) 積分後的反導函數F(x)在a~b之間有定義 PS: 定積分必定收斂!

題型45:瑕積分--凡不符合題型41微積分第二定理兩要件者(積分前不連續ˋ積分後沒定義)稱之. [型一]上界或下界其中有一為正負∞, 先將∞作變數變換作定積分,再取極限令變數趨近於正或負∞. [型二]上下界同時分別趨近於正負∞,則考慮中間以0做分段,然後同型一的方法做兩個變數變換取極限 [型三] ☆隱藏性瑕積分:定積分前,必先檢查上下界的閉區間(即包含上下界在內)內有否一值代入被積函數=不存在(即積分前不連續) 之罪魁禍首? 有則必先以罪魁作分段積分,再把禍首作變數變換後取左右極限(類似型一的手法)逼近之. PS:若瑕點出現在上下界則直接變數變換作定積分,在取極限,不需作分段~ PPS:瑕積分可能收斂也可能發散,但積分若發散則必是瑕積分造成!(積分發散則上下界閉區間必存在瑕點~)

題型46:萊布尼茲法則(配合題型22): [條件] 1)上下界全是常數 2)積分前(被積函數)為雙變數: ∫ f(x,t)dt= ∫ ∂/∂x f(x,t)dt [口訣] 先積t, 再微x=先微x,再積t 按:萊布尼茲定理解決兩函數相乘的高階微分;萊布尼茲法則解決雙變數函數的積分

題型47☆:Gamma函數與Beta函數--

------------------------------------------2008 1/1模考至此以上(考到積分應用)-----------------------------------




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{積分應用}


題型48:曲線所圍面積--

題型49:曲線的弧長--

題型50:旋轉體的體積--




{多重積分}

題型51:換序積分(Dirichlet二重積分變換)--

題型52:重積分之座標變換--

題型53:極座標之重積分--

題型54:積分型(掛羊頭)之重積分(賣狗肉)--

題型55:三重積分--

題 型56:曲面之表面積--


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{數列級數}

題型57:加減相消型級數--

題型58:正項級數之斂散性--

題型59:冪級數之收斂區域--

題型60:泰勒級數(Taylor Series)--

題型61:微分型(掛羊頭)級數(賣狗肉)--

題型62:級數型(掛羊頭)微分(賣狗肉)--

題型63:級數型(掛羊頭)積分(賣狗肉)--

題型64:積分型(掛羊頭)級數(賣狗肉)--


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{多變數的偏微分及其應用}


題型65:多變數函數的極值--


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[微分方程式}

題型66:分離變數法解微分方程式--

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